Quelques aspects réel et effectif de la géométrie algébrique

Programme pédagogique de l'école de recherche.

Chaque enseignant disposera de 6h, qu’il partagera à sa convenance en 4h de cours et 2h de séances d’exercice.

Conférencier : Lerario Antonio
Institution du conférencier : SISSA, Trieste, Italie.
Résumé du cours : In this course we will concentrate on the problem of counting the number of solutions of systems of random equations. We will start with the basic problem of counting zeroes of a random polynomial and move to more advanced questions (e.g. problems from enumerative geometry). The focus will be on the basic techniques, trying also to offer a soft approach to classical questions in complex algebraic geometry.

Conférencière : Shaw Kristin
Institution de la conférencière : Département de Mathématiques, Université d'Oslo, Norvège
Résumé du cours : Ce cours offrira une introduction à la géométrie tropicale orientée sur ses applications en géométrie algébrique réelle. On commencera par définir l’algèbre sur le semi-corps tropical et les hypersurfaces associées. Le méthode de Viro admet une description en termes d’hypersurfaces tropicales. Quoiqu’équivalente à l’originale, cette description offre d’autres techniques combinatoires pour déterminer le résultat de cette méthode de construction. Par exemple, la condition de Haas pour produire une courbe maximale depuis un patchwork peut être facilement retrouvée avec cette description. Dans la troisième partie du cours, on considèrera les variétés tropicales de dimensions et codimensions plus grandes

Conférencier : Diatta Daouda Niang
Institution du conférencier : Laboratoire de Mathématiques et Applications, Université Assane Seck de Ziguinchor, Sénégal.
Résumé du cours : La première section de ce cours sera consacrée aux algorithmes fondamentaux permettant de compter, de comparer et d'isoler les racines réelles d'un polynôme d'une variable à coefficients dans Q ou dans un anneau Q[α], α étant un nombre algébrique. La deuxième section abordera la théorie des sous-résultants. Nous y étudierons les propriétés fondamentales des sous- résultants aidant à appréhender les problèmes sous-jacents au calcul de la topologie des courbes algébriques réelles. La dernière section traitera le calcul effectif de la topologie des courbes algébriques implicites dans le plan et dans l'espace.

Conférencier : Brugallé Erwan
Institution du conférencier : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray – UMR 6629, Université de Nantes, France
Résumé du cours : Quelle forme (topologie) peut avoir l'ensemble des solutions réelles de l'équation P(x,y)=0 lorsque P(x,y) est un polynôme à coefficients réels? L'étude systématique de cette question remonte à la fin du 19ème siècle avec les travaux de Harnack. Hilbert propose dans son 16ème problème de résoudre le cas où P(x,y) est de degré 6, problème qui sera résolu dans les années 60 par Gudkov. L'étude de la topologie des variétés algébriques réelles a connu un essor considérable à partir des années 70, notamment grâce aux travaux d'Arnold et de Rokhlin, puis de Viro et Kharlamov. Ce cours propose une introduction à cette étude, et se concentrera essentiellement sur les cas des courbes dans le plan et des surfaces dans l'espace. J'expliquerai en particulier la technique du patchwork de Viro, technique étroitement reliée à la géométrie tropicale.

Cours 5 : Expected topology of random subcomplexes in a finite simplicial complex.

Conférencière : Salepci Nermin
Institution de la conférencière : Institut Camille Jordan, Université de Lyon 1, France.
Résumé du cours : We start by introducing simplicial complexes and the notions that should be known related to them, e.g. barycentric subdivision, face vector, variation of the face vector under successive barycentricsubdivisions. Then, we introduce a construction of subcomplexes which are dual to cohomology classes chosen randomly. After a quick review on homology/cohomology theories we introduce the topological invariants like Euler characteristic, Betti numbers. We finish by a study of the expected values of these topological invariants.

Cours 6 : Courbes algébriques pour une arithmétique efficace des corps finis

Conférencier : Ezome Tony
Institution du conférencier : Département de Mathématiques et Informatique, Université des Sciences et Techniques de Masuku, Gabon
Résumé du cours : L’objectif de cours est d’introduire les notions de base liées aux groupes algébriques, et de décrire comment ces variétés sont utilisées pour une arithmétique efficace sur les corps finis. Il s’agira essentiellement d’exploiter la situation suivante : Soit K = Fq un corps fini, et Ќ une clôture algébrique de K. Soit G un groupe algébrique défini sur K, et T un sous-groupe cyclique du groupe des points K-rationnels de G. Notons I : G → G/T l’isogénie quotient. On pose n = #T. Supposons qu’il existe un point K-rationnel ɑ dans G/T tel que I^(-1)(ɑ) est un diviseur irréductible sur K. Alors tout point b dans G( Ќ) vérifiant I(ɑ) = ɑ définit une extension cyclique L de K de degré n. On sait construire des bases normales en utilisant des éléments du corps K(G) telles que la multiplication de deux vecteurs puisse être calculée en temps quasi-linéaire relativement à n.

Conférencier : Ardila Federico
Institution du conférencier : San Francisco State University et Universidad de Los Andes (États Unis et Colombie)
Résumé du cours : Matroid theory is a combinatorial theory of independence which has its origins in linear algebra and graph theory, and turns out to have deep connections with geometry. The rich interplay between (oriented) matroids and (real) geometry gives rise to beautiful constructions and results in both areas. Tropical geometry studies algebraic varieties by `tropicalizing' them into polyhedral objects. The hope, which is realized surprisingly often, is that difficult algebro-geometric questions will reduce polyhedral questions. The resulting questions are usually not easy, but they can sometimes be solved with the help of combinatorics. Matroids often play an important role because they are the tropical analog of a linear space. This course will provide a gentle introduction to matroids, focusing on the interplay with real and tropical geometry.

Exposés de participants : En complément de ces 7 cours, des exposés seront programmés. Les orateurs seront principalement choisis parmi les participants de l’école, mais nous saisirons aussi l’opportunité de la présence dans la région de chercheurs de premier plan aux centres d’intérêt scientifiques reliés aux thèmes de l’école. Nous pensons en particulier à Assia Mahboubi, chercheuse à l’INRIA de Nantes, dont nous avons eu vent de la présence probable à Ziguinchor à cette période. Nous envisageons pour le moment de proposer 5 exposés d’une heure sur les deux semaines, cela restant à affiner en fonction des participants.