Master Degree Positions

1. Sur les groupoïdes de Lie propres 

• Supervisor: Aissa WADE (Penn State and AIMS)
• Co-Supervisor: Hamidou DATHE (University Cheikh Anta Diop, Dakar)
  
• Expected start date: January 1, 2016
• Expected end date: January 1, 2019
• Work place: University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application: December 23, 2015.
• Description of the subject: Les groupoïdes de Lie propres généralisent naturellement les actions de groupes de Lie propres sur les variétés. Ils apparaissent aussi bien dans la théorie des feuilletages qu’en géométrie de Poisson. Il est connu que tout groupoïde de Lie propre admet une métrique Riemannienne canonique. En outre, la variété de base d’un groupoïde de Lie propre est toujours munie d'un feuilletage singulier Riemannien au sens de Molino dont les feuilles sont données par les composantes connexes des orbites. Lorsque le groupoïde de Lie est source-connexe alors ces feuilles coïncident avec les orbites.
  L’objective principale de cette thèse est d’étudier, en profondeur, le cas particulier où le feuilletage induit sur la variété de base d’un groupoïde de Lie propre est un feuilletage régulier. Il y aura deux étapes. Dans la première étape, le thésard essaiera de trouver des conditions nécessaires ou suffisantes pour que le feuilletage induit sur la variété de base soit un feuilletage de Lie dont le groupe transverse est résoluble en construisant d’abord quelques examples. Dans la seconde étape, il attaquera le cas general en utilisant le théorème de structure de Molino qui, en gros, dit qu’un feuilletage Riemannien est composé de feuilletages de Lie. Rappelons qu'étant donné un groupe de Lie G et une variété compacte M, un feuilletage de Lie sur M de groupe transverse G est défini par des submersions d’ouverts de M sur des ouverts de G, appelés le cartes transverses, telles que chaque changement de carte soit une translation à gauche de G. 
• References: 
  

  1. J.-P Dufour & N. T. Zung, Poisson Structures and Their Normal Forms, Progress in Math. 242 Birkhuser Verlag, Basel, 2005.

  2. ML del Hojo and R. L. Fernandes, Riemannian metrics on Lie groupoids. arXiv:1404.5989v2

  3. I. Moerdijk & J. Mrcun, Introduction to Foliations and Lie Groupoids. Cambridge University Press, 2003.

  4. P. Molino, Riemannian foliations, Progress in Mathematics, vol. 73, Birkhuser Boston, Inc., Boston, MA, 1988. Translated from the French by Grant Cairns, With appendices by Cairns, Y. Carrire, . Ghys, E. Salem and V. Sergiescu.

  5. P. Molino & V. Sergiescu, ”Deux remarques sur les flots riemanniens”, Manuscripta Math. 51 (1985), no. 1-3, p. 145161.

  6. G. Meigniez, Feuiiletages de Lie r ́esoluble, Annales de la Facult ́e des Sciences de Toulouse Vol IV, no 4, 1995. 

2. Optimisation de forme d'obstacles pour des écoulements de particules et de foules

• Supervisor: Diaraf SECK (University Cheikh Anta Diop, Dakar)
• Co-Supervisor: Fillipo Santambrogio (University Paris 11, Orsay)
  
• Expected start date: January 1, 2016
• Expected end date: January 1, 2019
• Work place: University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application: December 23, 2015.
• Description of the subject: Après une proposition de modélisation, il s'agit de trouver une ou des caractérisations de la forme  d'un obstacle sous l'effet d'une action (une fonctionnelle à optimiser) dans un milieu dans lequel des équations aux derivees partielles sont satisfaites. Dans cette problématique la notion de gradeient flots et l’étude de méthode numérique sont considérées.
• Prerequisites: Analyse géométrique des formes, équations aux derivées partielles

3. Statistics and Stochastic Modeling : statistics for differential equations

• Supervisor: Khalifa Es-Sebaiy (ENSA de Marrakech, Université Cadi Ayyad, Maroc)
• Co-Supervisor: Papa Ngom (Université Cheikh Anta Diop de Dakar)
  
• Expected start date: January 1, 2016
• Expected end date: January 1, 2019
• Work place: University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application: December 23, 2015.
• Description of the subject: Time-dependent dynamic processes that follow the laws of finance, physics, physiology or biology are usually described by differential systems. For example, stock price dynamics or short-term interest rates can be described using a wide class of financial differential systems. As another example, in biology, pharmacokinetics consists in the study of the evolution of a drug in an organism. It is described through dynamic systems, the human body being assimilated to a set of compartments within which the drug flows. In these contexts, diffusion models described by stochastic differential equations (SDEs) are natural extensions to the corresponding deterministic models (defined by ordinary differential equations, ODEs) to account for time-dependent or serial correlated residual errors and to handle real life variations in model parameters occurring over time. This variability in the model parameters is most often not predictable, not fully understood or too complex to be modeled deterministically. Thus the SDEs consider errors associated with misspecifications and approximations in the dynamic system. The parametric estimation of such diffusion processes is a key issue. Statistical inference for diffusion type processes satisfying stochastic differential equations driven by Wiener processes has been studied earlier and a comprehensive survey of various methods is given for instance in Kutoyants (2004), Liptser and Shiryaev (2001), Prakasa Rao (2010). Least squares estimator (LSE) is asymptotically equivalent to the MLE. From a practical point of view, in parametric inference, it is more realistic and interesting to consider asymptotic estimation for diffusion processes based on discrete observations. Different methods have been developed in the literature for parametric estimation problems for diffusion processes based on discrete observations by studying consistency and asymptotic normality for the proposed estimators.
  The aim of this research project is to extend some cases of diffusion processes driven by Brownian motions to the case of SDEs driven by a fractional Brownian motion (fBm). In this case it is more difficult to work with MLE. This difficulty becomes from the fact of non-existence, in general, of Girsanov theorem for SDEs driven by fBm. For that we propose to use least squares estimators (LSE), which was recently the main tool for studying many problems of parameter estimation for fractional SDEs.
  The parametric estimation problems for fractional diffusion processes based on continuous-time observations have been studied e.g. in Kleptsyna and Le Breton (2002), Tudor and Viens (2007), Prakasa Rao (2010) via maximum likelihood method.
  From a practical point of view, in parametric inference, it is more realistic and interesting to consider asymptotic estimation for fractional diffusion processes based on discrete observations. In general, the study of the asymptotic distribution of any estimator is not very useful for practical purposes unless the rate of convergence of its distribution is known. The rate of convergence of the distribution of LSE for some diffusion processes driven by Brownian motions based on discrete time data was studied e.g. in Prakasa Rao (2010). In the fractional case we investigated the consistency and the rate of convergence to normality of the LSE for fractional Ornstein-Uhlenbeck process in Es-Sebaiy (2013). Cénac and Es-Sebaiy (2012) studied the ASCLT for least square estimators for Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion.
  Conclusion, our aim, using Malliavin calculus, is to study estimation problems for more stochastic models driven by fractional Brownian motion, stochastic partial differential equations (SPDEs) driven by fbm based on discrete and continuous observations, in particular stochastic models applied in Biostatistics and Solar Power..
• Prerequisites: Statistics for Differential Equations, Stochastic Modeling.

4. Modèles d’optimisation et approches de résolution des réseaux de transports.

• Supervisor: Babacar Mbaye NDIAYE (University Cheikh Anta Diop, Dakar)
• Expected start date: January 1, 2016
• Expected end date: January 1, 2019
• Work place: University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application: December 23, 2015.
• Description of the subject :  La question de l’efficacité d’aménagement de territoire (spatial planning) est un sujet complexe, préoccupant les autorités locales depuis de nombreuses années, et sur lequel les travaux de recherche ont vu le jour dans la dernière décennie. Les enjeux sont immenses : (i) une meilleure localisations de nouvelles activités, (ii) les localisations optimales d’activités (quartiers résidentiels, marchés, commerces, emplois, loisirs,...) qu’il conviendrait d’effectuer pour réduire les congestions (iii) l’impact, sur les déplacements des usagers, d’une nouvelle ligne de transport (routière, fluviale, ferroviaire), etc. Le but est d’explorer ces questions.
  Tous ces travaux portent sur la modélisation mathématique du problème de conception de réseaux & localisation d’activités et sa résolution. Comme pour la plupart des problèmes NP-Complets, il est difficile de résoudre des instances de grande taille de façon exacte. Les solutions proposées sont généralement basées sur des heuristiques ou des métaheuristiques. L’objectif de cette thèse est de proposer des modèles et des méthodes d’optimisation et d’aide à la décision pour l’influence réciproque de la structure du réseau de transport de la ville de Dakar et de la localisation de ses activités. La technologie proposée repose sur des travaux déjà développés dans le cadre du projet de recherche Optimisation des Réseaux de TRANSport (ORTRANS). Elle met en oeuvre des méthodes mathématiques, et de la simulation informatique dite multi-agents. Il existe actuellement peu de méthodes, notamment exactes, pour résoudre ce type de problème en considérant le système dans sa globalité. Les méthodes de résolution envisagées seront de différente nature, selon la difficulté et les contraintes de temps de résolution du problème. Les approches exactes suivantes sont envisagées : inégalités valides (algorithme senegaulois), transport de masse. Les approches de résolution approchée par une combinaison avec des métaheuristiques seront également envisageables.
  
• Prerequisites :  
  

   – Niveau d’étude : Master 2 en Mathématiques Appliquées. 
  – Bonnes compétences théoriques dans les domaines de l’optimisation théorique, la théorie de la mesure et l’analyse fonctionnelle. 
  – Excellentes capacités de programmation : C, C++ ou JAVA. Une expérience sur l’outil de simulation IBM Cplex serait un plus. 
  – Les qualités d’autonomie, de prise d’initiative et de créativité seront également recherchées.

5. Méthodes semi-algébriques pour l'étude de robots à câbles.

• Supervisor : Michel COSTE (University Rennes 1, Rennes)
• Co-Supervisors : Moussa Seydou (Maradi, Niger), Demdah Kartoue Mady (N'Djaména, Tchad)
  
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : University Assane Seck de Ziguinchor
• Deadline for application : December 23, 2015.
• Description of the subject : La géométrie semi-algébrique a pour objet l'étude de l'ensemble des solutions réelles de systèmes d'équations et d'inégalités polynomiales. Il y a de nombreux domaines où la modélisation conduit à de tels systèmes, c'est en particulier le cas de la robotique. Les liens de la robotique et de la géométrie semi-algébrique se sont développés depuis pas mal d'années, par exemple à propos de la planification de trajectoires ou de l'étude de robots parallèles comme la plate-forme de Gough-Stewart (une plate-forme mobile reliée à une base fixe par six jambes de longueurs contrôlées par des moteurs).
  Les robots à câbles rencontrent actuellement un intérêt croissant pour leurs applications, déjà existantes ou potentielles, dans plusieurs domaines (une des plus connues est sans doute l'utilisation de caméras suspendues pour la retransmission des événements sportifs). Les robots à câble rentrent dans la famille des robots parallèles, mais avec ceci de particulier que les liaisons entre la plate-forme mobile et la base ne peuvent travailler qu'en traction et non en compression, contrairement aux jambes rigides. Les conditions de signe et les inégalités interviennent donc fondamentalement dans la modélisation.
  Le sujet proposé concerne l'étude  théorique (avec un modèle simplifié ne prenant pas en compte les problèmes d'élasticité ou de poids des câbles ni les problèmes de croisement de câbles) de robots à câbles simples (nombre de câbles et degrés de libertés réduits), notamment du point de vue de leurs singularités (configurations où il y a perte de contrôle)
• Prerequisites : Ce travail demande de bonnes connaissances de techniques de base en géométrie algébrique et semi-algébrique, notamment du point de vue algorithmique (méthodes d'élimination, décomposition cylindrique algébrique, ...). Il demande aussi quelques rudiments de mécanique du solide pour comprendre les problèmes qui se posent. Il faudra aussi se familiariser avec la problématique des singularités des robots parallèles classiques pour pouvoir aborder les robots à câbles.

6. Études de problèmes de cristaux phononiques, photoniques et de pollution par les méthodes d'optimisation de formes.

• Supervisor : Ibrahima FAYE (University Alioune Diop of Bmabey)
• Co-supervisor : Alassane SY (University Alioune Diop of Bmabey) 
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : University Alioune Diop of Bmabey
• Deadline for application : December 23, 2015.
• Description of the subject : L’objectif de ce travail est double :
  La première partie de ce travail consiste à faire  une étude théorique des cristaux à bandes interdites ; communément appeler cristaux photoniques (et phononiques). Plus précisément, il s’agira d’une utilisation des outils de l’optimisation de forme topologique pour séparer les zones à forte conductivité diélectrique de celles à faible conductivité dans ces cristaux.  
  Après la modélisation et l’identification théorique des dérivées de formes topologiques, il sera question dans un second temps de proposer des méthodes numériques de types éléments finis pour identifier les paramètres sur lesquels on peut agir afin d’optimiser le rendement (ceux qui permettent d’obtenir une bande passante plus large).
  La seconde partie du travail consiste à étudier des problèmes de transfert de polluant en milieu poreux (pollution de la nappe phréatique, pollution de l’air). Etant donnée que la modélisation de tels problèmes conduit à des EDPs fortement non linéaires ; les questions d’existence  et d’unicité de solutions seront étudiés.
   Une approche par l’optimisation topologique pourrait permettre de déterminer les domaines optimaux et des  méthodes numériques seront proposées pour localiser les zones à forte concentration de polluant. 

7. Bornes pour la régularité de Castelnuovo-Mumford

• Supervisor : Amadou Lamine FALL (University Cheikh Anta Diop of Dakar)
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application : December 23, 2015.
• Description of the subject : La régularité de Castelnuovo-Mumford est un invariant important en algèbre commutative et en géométrie algébrique. Elle mesure les notions suivantes.
  - La complexité algébrique d’un idéal ou d’un module gradué. Elle mesure le degré maximal des syzygies apparaissant dans une résolution libre minimale graduée de l’idéal ou du module. Elle donne également le plus grand degré des éléments d’une base de Gröbner pour l’ordre lexicographique inverse.
  - Elle est une mesure effective dans les théorèmes d’annulation de Grothendieck et de Serre.
  - Elle borne le degré à partir duquel la dimension, comme espace vectoriel sur le corps de base des composantes homogènes d’un idéal ou d’un module gradué, devient une expression polynomiale.
  - Le degré μ à partir duquel l’idéal ou le module obtenu en ne conservant que les composantes homogènes de degré au moins μ d’un idéal ou d’un module gradué donné admet une résolution linéaire. Cette caractérisation de la régularité de Castelnuovo-Mumford a permis (entre autres) à David Mumford de donner une preuve simplifiée de l’existence du schéma de Hilbert.
  - Bayer et Stillman ont montré que si R est un anneau de polynômes muni de l’ordre lexicographique inverse, I un idéal homogène de R et ginI son idéal initial générique, alors regI = reg(ginI).
  - La régularité de I est donc le maximum des degrés des générateurs de son idéal initial générique pour l’ordre lexicographique inverse. Cette connection a motivé beaucoup de recherches pour les bornes de la régularité de Castelnuovo-Mumford en terme des degrés des générateurs d’un idéal ou d’un module gradué.
  Dans cette perspective nous proposons d’étudier les bornes pour la régularité de Castelnuovo- Mumford des modules et des schémas avec des singularités.

8. Auto-intersection et Codage.

• Supervisor : Masseye GAYE (University Cheikh Anta Diop of Dakar)
• Co-supervisor : El Hadji Cheikh Mbacké DIOP (University Cheikh Anta Diop of Dakar)
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application : December 23, 2015.
• Description of the subject : L'article S. Lalley Self-intersections of closed geodesics on a negatively curved surfaces; statistical regularities, montre qu'une géodésique périodique typique, sur une surface compacte à courbure négative, s'auto-intersecte proportionnellement au carré de sa longueur, la constante de proportionnalité C0 étant le nombre d'auto-intersection de la mesure de Liouville. L'article trés récent du même auteur (voir [1]) étudie aussi les fluctuations des auto-intersections typiques autour de la moyenne. Par ailleurs, on connait l'asymptotique polynomial du nombre de géodésiques périodiques de longueur au plus T qui ne s'auto-intersectent pas du tout (voir [2]). Il serait intéressant de pouvoir comprendre les auto-intersections via le codage. Plus précisément, étant donné une orbite périodique symbolique, peut-on reconnaitre sur le mot symbolique combien de fois elle s'auto-intersecte ? Ceci per- mettrait peut-être d'obtenir des asymptotiques du nombre de géodésiques périodiques s'intersectant de manière atypique, par exemple proportionnellement à leur longueur au carré, mais avec une constante de proportionnalité différente.
  Les surfaces de Schottky benéficiant d'un codage très explicite ( voir [3]) semblent de bons candidats pour aborder ces questions, d'autant plus que les articles de S. Lalley ne traitent que des surfaces compactes à courbure négative.

  Références :

  1. [1]  S.Lalley Statistical regularities of self-intersection count s for geodesics on negatively curved surfaces Duke Mathematics Journal Vol. 163 (2014) No. 6 pp. 1191-1261,

  2. [2]  M.Mirzakhani, Growth of the number of simple closed geodesics on hy- perbolic sur- faces. Ann. of Math. (2) 168 (2008), no. 1, 97125

  3. [3]  C.Series, Symbolic Dynamics for Geodesic Flows. Acta Math., 146 (1981), 103-128. 

9. Modélisation, Analyse et Simulation de la Dynamique de Transmission de la Poliomyélite.

• Supervisor : Mountaga LAM (University Cheikh Anta Diop of Dakar)
• Co-supervisor : Samuel BOWONG TSAKOU (University of Douala, Cameroun)
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application : December 23, 2015.

Description of the subject : Comment éviter que le virus  de la poliomyélite ne revienne en Afrique?
La poliomyélites est une maladie infectieuse virale transmise par le virus appelé poliovirus Elle est très contagieuse et touche principalement les enfants de moins de 5 ans. Véritable fléau dans les années 40-50, cette maladie a aujourd'hui sauf exception disparue des pays industrialisés et de toute une partie du monde. Toutefois, cette maladie demeure une préoccupation majeure. L’épidémiologie des épidémies de la poliomyélite est complexe. La transmission implique de nombreux facteurs. Le cycle complet comporte une interaction complexe entre le virus, l’environnement  et l’hôte que sont les  humains. C’est une situation qui est loin d’être stable et qui varie en fonction de la saison et des facteurs sociaux. 
Eviter que le virus ne revienne, c’est la prochaine étape pour le continent africain. Pour cela, maintenir une couverture vaccinale élevée est essentiel. La couverture vaccinale dans les zones en guerre demeure une préoccupation majeure pour l’OMS.  Ces régions constituent des foyers pouvant contribuer à la résurgence de la maladie.     Elle demande une action intégrée et pluridisciplinaire. Les modèles mathématiques et informatiques sont reconnus depuis longtemps comme des outils utiles pour l’exploration de relations compliquées. 
Ce  sujet de thèse vise à améliorer la compréhension de la dynamique temporelle et spatio-temporelle des épidémies de poliomyélite, en relation avec le climat et les  facteurs sociaux et prédire le moment où la maladie pourra revenir sur le continent africain et  contrôler l’évolution de ces prochaines épidémies. 
Les résultats attendus sont

1. Etablissement d’un système réaliste couplant un modèle mathématique ou informatique d’évolution des épidémies poliomyélite à l’environnement. 
2. Etablissement  d’un modèle réaliste prenant en compte les différences géographiques et occupationnelles dans la transmission des épidémies de poliomyélite. Ces modèles visent à comprendre le mécanisme de transmission inter-village. Plus généralement, le but consiste à simuler l’influence mutuelle de plusieurs foyers d’infection aux épidémies de poliomyélite.
3. Etablissement des modèles réaliste prenant en compte les différentes hétérogénéités, notamment spatiales et géographiques. Ces modèles seront stratifiés en fonction de l’âge, du sexe,…
4. Estimation des états non accessibles à la mesure d’un système modélisant la méningite  ainsi que le paramètre (scalaire ou vectoriel) inconnu, en utilisant les sorties discrètes. 
5. Prédiction et contrôle de l’évolution des épidémies de poliomyélite en Afrique.

Prerequisites: Système dynamique, théorie du contrôle, équations aux dérivées partielles, simulation numérique. 

10. Méthodes numériques pour une équation de transport avec un champ de vitesse dans l'infty

• Supervisor : Souleye KANE(University Cheikh Anta Diop of Dakar)
• Co-supervisor : Mamadou SY (University Gaston Berger of Saint Louis)
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : University Cheikh Anta Diop of Dakar
• Deadline for application : December 23, 2015.

Description of the subject : L’équation de transport a suscité beaucoup d’intérêt depuis des décennies à cause de son importance majeure dans la vie de tous les jours. Elle modélise la plus part des phénomènes physiques basés sur la loi de conservation.  Beaucoup  de résultats théoriques ont été obtenus.  Cependant les méthodes numériques présentent toujours soit de petites oscillations lorsque la condition initiale n’est pas régulière, soit de la diffusion numérique pour les temps long.
L’existence et l’unicité de solution pour ce problème ont été démontrées par O. Besson et  J. Pousin. Le but ici est de développer des méthodes numériques pour obtenir des solutions approchées du problème dans un certain sens. Suivant l’espace où est le champ de vitesse, on obtient des solutions renormalisées, entropiques, STILS, etc…Dans ce travail nous essayerons de comparer toutes les solutions numériques issues de ces modes de résolutions.  

Prérequis : Analyse fonctionnelle, EDP, Analyse Numérique 

11. Calcul "max-plus", variétés "tropicales" et fonction de Ronkin.

• Supervisor : Alain YGER (Université de Bordeaux)
• Co-supervisor : Salomon Sambou, Daouda N. Diatta (Université Assane Seck de Ziguinchor)
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : Université Assane Seck de Ziguinchor.
• Deadline for application : December 23, 2015.

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12. Résolubité du ∂¯ pour les formes différentielles de classe C∞ ayant une valeur au bord au sens des courants sur un domaine Ω ⊂ X d’une variété analytique complexe X de dimension n, sur lequel on sait résoudre le ∂¯ pour des formes différentielles de classe C∞ sur Ω et sur Ω¯.

• Supervisor : Salomon Sambou (Université Assane Seck de Ziguinchor)
• Co-supervisor : Cheikh Mbacké Diop, Université Cheikh Anta Diop de Dakar
• Expected start date : January 1, 2016
• Expected end date : January 1, 2019
• Work place : Université Cheikh Anta Diop de Dakar.
• Deadline for application : December 23, 2015. 

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